RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES

MÉTODO DE GAUSS - JORDAN

Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.

El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones

Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada.

Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:

El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.

En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:

Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:

El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010:

Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener:

Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución.

Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan.

Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.

INVERSIÓN DE MATRICES

Sea A una matriz cuadrada no singular, es decir, que su determinante sea diferente de cero, |A|≠0. Por definición de matriz inversa, se tiene que A^-1 es la inversa de A si:

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Haciendo X=A^-1 y sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene

Puede considerarse que esta ecuación matricial representa un sistema de ecuaciones simultáneas, en donde no hay un solo vector de términos independientes sino n, los n vectores básicos que forman la matriz unitaria I. Además, no existe un solo vector de incógnitas, sino n, los que corresponden a cada columna de la matriz unitaria.

Por lo anterior, es posible determinar la inversa de una matriz con el método de Gauss-Jordan de eliminación completa. Para lograrlo, bastará con aplicar las operaciones elementales sobre los renglones de la matriz ampliada (A, I) de manera de transformar A en I. Cuando se haya hecho, se obtendrá la matriz ampliada (I, A^-1) , con lo que se tendrá la inversa buscada.

EJEMPLO

Invertir la matriz

Auméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad

Usando a11 como pivote, el renglón 1 se normaliza y se usa para eliminar a X1 de los otros renglones.

En seguida, se usa a22 como pivote y X2 se elimina de los otros renglones.

Finalmente, se usa a33 como pivote y X3 se elimina de los renglones restantes:

Por lo tanto, la inversa es:

Se puede resolver un sistema de ecuaciones con la inversa de la matriz de coeficientes, de la siguiente manera:

donde C es el vector de términos independientes.

Comparando ambos métodos, es evidente que el método de inversión de matrices no es práctico para la solución de un sólo conjunto (o dos o tres conjuntos) de ecuaciones simultáneas, porque la cantidad de cálculos que intervienen para determinar la matriz inversa es muy grande. Sin embargo, si se desea resolver 20 conjuntos de 10 ecuaciones simultáneas que difieren únicamente en sus términos independientes, una matriz aumentada que contiene 20 columnas de constantes (que se utilizarían en el método de eliminación) sería difícil de reducir, y se podría usar con ventaja el método de inversión de matrices.