TEORÍA DE ERRORES

INTRODUCCIÓN

El objetivo de estas notas es complementar el curso de la UEA de Computación II para que el estudiante de la asignatura pueda darse cuenta de las posibles fuentes de error y puntualizar algunas técnicas que pueden usarse para evitar estos errores.

Es muy difícil estimar el error total en el que se incurre al resolver un problema práctico. Por ello se han propuesto varios métodos computacionales para estimar esos errores, entre los cuales se encuentran los siguientes:

1. USO DE LA DOBLE PRECISIÓN.

En este método se resuelve el problema dos veces; una con precisión sencilla y la otra con doble precisión, donde la diferencia de los dos resultados es una estimación del error total de redondeo. Este método supone que todos los otros errores son menos significativos.

DESVENTAJAS

• Es costoso (en extremo) en tiempo de operación de la computadora

2. ARITMÉTICA DE INTERVALO

Este método consiste en representar cada número por dos números en la máquina; el valor máximo y el valor mínimo que puede tener, y cada vez que se realice una operación se calculan sus valores máximo y mínimo obteniéndose dos soluciones en cada etapa y la solución verdadera estará necesariamente entre el máximo y el mínimo.
Es frecuente que en este método se suponga la solución verdadera cerca de la mitad del intervalo, lo cual no es válido en todos los casos.

DESVENTAJAS

• Requiere más del doble de tiempo de operación de la computadora y cerca del doble de almacenamiento de una operación normal.

3. ARITMÉTICA DE DÍGITOS SIGNIFICATIVOS

Este método intenta no perder de vista los dígitos significativos que se pierden al hacer operaciones en la máquina y al final del cálculo es necesario asegurarse que todos los dígitos retenidos son significativos. Es usual descartar dígitos que se piensa que no son significativos.

DESVENTAJAS

• Se pierde información cuando se descartan dígitos.
• Los resultados obtenidos tienden a ser muy conservativos

4. ENFOQUE ESTADÍSTICO

En este método se adopta un modelo estocástico de la propagación del error de redondeo, en el cual los errores locales se tratan como si fueran variables aleatorias y se supone que están distribuidos uniformemente o normalmente entre sus valores extremos. Usando la estadística se puede obtener la desviación estándar, la varianza y estimativos del error de redondeo acumulado.

Este método implica un análisis detallado y tiempo adicional de computador, pero proporciona buenos estimadores del error.

A continuación se muestran algunos lineamientos prácticos y funcionales para determinar la propagación de errores y estimación de errores o un límite al tamaño máximo del error.

ERRORES ABSOLUTOS Y ERRORES RELATIVOS

El Error Absoluto en una cantidad es la diferencia entre el valor verdadero, suponiendo que se conoce, y una aproximación al valor verdadero.

Así, si:

X = cantidad verdadera.
= una aproximación a la cantidad verdadera.
eX = error absoluto.

Tenemos que:

De acuerdo a nuestra definición:

El Error Relativo se define como el cociente del error absoluto entre la aproximación

(3)

Parecería más razonable definirlo como el error absoluto dividido entre el valor verdadero, pero generalmente no conocemos éste. Todo lo que tenemos, generalmente, es un valor aproximado y una estimación del error o un límite al tamaño máximo del error.

El error absoluto y el error relativo son aproximadamente iguales para números cercanos a uno. Para números no cercanos a uno puede haber una gran diferencia.